洗濯を依頼されましたが、有料で洗ってよいですか？

いいえ。
クリーニング所としての申請・設備・資格・開業許可等が必要なため、許可されたクリーニング所以外では、預かった衣類を有料で洗濯することはできません。
（洗濯講習会の受講料をいただくことは問題ありません）